Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

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-====== 3D : Théories et Mathématiques - PART 2 ======
-===== Projection sur l'écran =====
-Il nous reste à aborder le passage de la 3D à la 2D (pour nos "simple" écrans)...
-Nous avons transformé des points (qui peuvent former des objets) dans un espace à 3 dimensions, avec un point remarquable (0,0,0) qui est le centre de l'univers cartésiens ainsi décrit.
-Par défaut, si l'on applique les formules de projection ci-dessous, l'observateur sera un point "remarquable" (et immobile) situé en (0,0,0) et qui regarderait vers le fond (0°,0°,0°) ... :D
-==== Projection sans distance, projection orthonormée (projection du fainéant) ====
-Si l'on désire représenter un point 3D en 2D, après transformation(s), on peut simplement ignorer la coordonnées 'Z'
-<WRAP center round box 60%>
-<m 14>x prime = x</m>
-<m 14>y prime = y</m>
-</WRAP>
-=== Centrer l'écran ===
-Sachant qu'un écran informatique peut afficher des points de 0,0 à sizex, sizey et que les valeurs de x' et y' peuvent quand à elles varier t entre -∞ et +∞, il convient de centrer le 0,0 sur l'écran et d'éliminer les valeurs "hors écran"
-<code c>
-x_screen = x_transformed - (sizex/2);
-y_screen = y_transformed - (sizey/2) ;
-if ((x_screen>=0) and (x_screen<sizex) and (y_screen>=0) and (y_screen<sizey))
-  draw_pixel(x_screen,y_screen,1);
-</code>
-==== Projection Simple dit aussi Projection du pauvre ====
-Si l'on désire représenter un point 3D en 2D, après transformation(s), on simuler l'éloignement (par rapport à l'observateur) en faisant un rapport sur la valeur z, après transformation:
-<WRAP center round box 60%>
-<m 14>x prime = x / z</m>
-<m 14>y prime = y / z</m>
-</WRAP>
-Cette projection transforme un point 3D en 2D en tenant compte de l'éloignement, plus le Z est grand, plus les points projetés se "rapprochent" les un des autres autour du 0,0, et donc donneront l’illusion d’être "plus loin".
-C'est la technique qui est utilisée en peinture (technique du "point de fuite") pour donner un sentiment de "profondeur" à l'image, on parle alors de perspective.
-Dans cette projection, Il convient toutefois de prendre en compte le risque d'avoir un z nulle avant d'appliquer la projection.
-=== Cas du 'Z' nul ===
-On peut soit ignorer les points qui sont sur l'origine, soit les afficher en utilisant la projection du fainéant, je conseille de quand même les afficher.
-<code c>
-if (z_screen==0)
-{
-  x_screen = x_screen;
-  y_screen = y_screen;
-}
-else
-{
-  x_screen = x_screen / z_screen;
-  y_screen = y_screen / z_screen;
-}
-</code>
-Cette gestion ne vous empêches pas de quand même centrer votre 0,0 et les "hors-écran", donc alourdis un peu la projection.
-=== Projection sur l'écran ===
-Considérons un instant l'écran (de projection) comme pouvant se situé entre l'observateur et l'objet observé, il convient de prendre en compte cette différence, afin notamment de gérer l'effet de focale (et éventuellement de traiter le centrage)...
-la projection sera dès lors calculée avec les formules suivantes
-<WRAP center round box 60%>
-<m 14>x prime = x*(ez/z) + ex</m>
-<m 14>y prime = y*(ez/z) + ey</m>
-</WRAP>
-Si l'on considère que ex = -(sizex/2) et ey = -(sizey/2), et que ez=1, alors nous retombons sur la formule de la projection du pauvre... qui tiens nativement compte du centrage de l'écran...
-==== Caméra et point de vue ====
-Dans les projections précédentes, nous avons toujours fait bouger les points de l'univers autours du 0,0,0 et non fait bouger un observateur dans cet univers, la logique voudrait que ce soit en effet l'observateur qui se déplace et non l'univers.
-Si l'on désire faire entrer la notion d'observateur(caméra)/point de vue, il convient d'inclure ce point (et là ou il regarde) dans les calculs de transformation/projection et d'appliquer aux points de l'univers une transformation spéciale.
-Si l'on désire appliquer les transformations en prenant en compte la position de l'observateur, il convient d'appliquer la transformation de la caméra, cette transformation inclu une rotation autour de l'axe Z, de l'axe Y et de l'axe X de chaque point par rapport à la position de l'observateur/caméra et à son orientation (du regard).
-<WRAP center round info 100%>
-x,y,z : coordonnées cartésienne du point a transformer
-ox,oy,oz : coordonnées cartésienne, position de l'oeil dans l'espace.
-ax,ay,az : angles de vue , ces angles définissent la direction du regard à partir du point de l'observateur (ox,oy,oz).
-</WRAP>
-Alors la matrice de transformation devient
-<WRAP center round box 95%>
-<m 14>
-delim{|}{  matrix{3}{1}  {nx ny nz}}{|} =
-delim{|}{  matrix{3}{3}  { 1  0  0 0 (cos(ax)) (sin(ax)) 0 ( -sin(ax)) (cos(ax))}}{|} *
-delim{|}{  matrix{3}{3}  { (cos(ay))  0  ( -sin(ay)) 0  0  1 (sin(ay)) (cos(ay))}}{|} *
-delim{|}{  matrix{3}{3}  { (cos(az))  ( -sin(az)) 0  ( -sin(az)) (cos(az)) 0  0 0 1 }}{|} * (
-delim{|}{  matrix{3}{1}  { x y z }}{|} -
-delim{|}{  matrix{3}{1}  { ox oy oz }}{|}
-)
-</m>
-</WRAP>
-<WRAP center round tip 100%>
-Dans l'introduction à la projection, j'ai évoqué //l'observateur// comme étant un point remarquable du système localisé en (0,0,0), et ayant une direction de regard a angle nul (0°,0°,0°)
-Si l'on n'a pas d'angle de vue (ax=ay=az=0), les matrices de rotation deviennent des matrices "unités" (car (sin(0)=0 et cos(0)=1), et l'on peut dès lors simplifier le produit en "translation":
-<WRAP center round box 60%>
-<m 14>
-delim{|}{  matrix{3}{1}  {nx ny nz}}{|} =
-delim{|}{  matrix{3}{1}  {x y z}}{|} -
-delim{|}{  matrix{3}{1}  {ox oy oz}}{|}
-</m>
-</WRAP>
-Mais il ne faut pas oublié que l'observateur est le 0,0,0; ce qui veut dire que ox=oy=oz=0, alors
-<WRAP center round box 60%>
-<m 14>
-delim{|}{  matrix{3}{1}  {nx ny nz}}{|} =
-delim{|}{  matrix{3}{1}  {x y z}}{|}
-</m>
-</WRAP>
-Et l'on retombe bien sur une matrice toute simple.
-</WRAP>
-===== Conclusions =====
-Il est impossible de conclure simplement, mais je vais tenter de résumer au mieux tout ce qui a été vu, et de fournir une matrice/formule simple
-vec quelques définitions voici les formules que nous allons implémenter.
-<WRAP center round info 95%>
-ox,oy,oz    : coordonnées cartésienne, position de l'oeil dans l'espace.
-x[],y[],z[] : coordonnées cartésienne des points a transformer
-ex,ey,ez    : coordonnées cartésienne de l'écran avec ex=-(sizex/2), ey=-(sizey/2) et ez=1
-ax,ay,az    : angles de vue , ces angles définissent la direction du regard à partir du point de l'observateur (ox,oy,oz).
-cx = cos(ax), sx = sin(ax), cy = cos(ay), ...
-nx,ny,,nz   : coordonnées cartésienne, position temporaire de calcul
-</WRAP>
-pseudo code:
-<code>
-foreach
-{
-  dx = x[]-ox
-  dy = y[]-oy
-  dz = z[]-oz
-  nx = cy*(sz*dy + cz*dx) - sy*dz
-  ny = sx*(cy*dz + sy*(sz*dy + cz*dx)) + cx*(cz*dy - sz*dx)
-  nz = cx*(cy*dz + sy*(sz*dy + cz*dx)) - sx*(cz*dy - sz*dx)
-  x' = nx*(ez/nz) + ex
-  y' = ny*(ez/nz) + ey
-}
-</code>
-<nspages back2root/programmation -simpleList -h1 -exclude:start -textPages="Back2Root">
-====== Références ======
-**3D et vrai Relief**
-J.J.Meyer
-ISBN: 2-7091-0990-5
-https://www.amazon.co.uk/3D-vrai-relief-images-synthese/dp/2709109905
-**PC Interdit 2eme édition Windows 95 & Jeux 3D**
-Boris Bertelsons, Mathias Rasch et Jan Erik Hoffmann
-ISBN: 2-7429-0500-6
-https://www.amazon.fr/PC-interdit-Collectif/dp/2742905006
-**Mathematics of 3D Graphics**
-Juan David Gonzalez Cobas
-Universidad de Oviedo
-Blender Conference 2004
-https://www.cs.trinity.edu/~jhowland/class.files.cs357.html/blender/blender-stuff/m3d.pdf
-http://www.ecere.com/3dbhole/mathematics_of_3d_graphics.html
-https://en.wikipedia.org/wiki/3D_projection
-https://fr.wikipedia.org/wiki/Projection_(g%C3%A9om%C3%A9trie)
-https://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_axonom%C3%A9trique

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